Pi

Pi,

 in mathematics, the ratio of the circumference of a circle to its diameter. The symbol for pi is π. The ratio is the samefor all circles and is approximately 3.1416. It is of great importance in mathematics not only in the measurement of the circlebut also in more advanced mathematics in connection with such topics as continued fractions, logarithms of imaginarynumbers, and periodic functions. Throughout the ages progressively more accurate values have been found for π; an earlyvalue was the Greek approximation 3 1-7, found by considering the circle as the limit of a series of regular polygons with anincreasing number of sides inscribed in the circle. About the mid-19th cent. its value was figured to 707 decimal places andby the mid-20th cent. an electronic computer had calculated it to 100,000 digits. Although it has now been calculated to some2.6 trillion digits, the exact value of π cannot be computed. It was shown by the German mathematician Johann Lambert in1770 that π is irrational and by Ferdinand Lindemann in 1882 that π is transcendental; i.e., cannot be the root of anyalgebraic equation with rational coefficients. The important connection between π and e, the base of natural logarithms, wasfound by Leonhard Euler in the famous formula e^iπ=−1, where i=√−1.

Pi

π, a letter of the Greek alphabet used in mathematics to denote a particular irrational number—the ratio of the circumferenceto the diameter of a circle. The symbol was probably adopted from the Greek word for “circumference,” or “periphery.”Although it came into general use after a paper by L. Euler in 1736, it was first used by the British mathematician W. Jones in1706. Like all irrational numbers, π is an infinite nonrepeating decimal fraction:

π = 3.141592653589793238462643…

The requirements of practical calculations involving circles and circular solids long ago made it necessary to findapproximations of π by rational numbers. In the second millennium B.C., ancient Egyptian computations of the area of a circlemade use of the approximation π ≈ 3, or, more precisely, π ≈ (16/9)²= 3.16049.… In the third century B.C., Archimedes found,by comparing the circumference of a circle to regular inscribed and circumscribed polygons, that π is between the values

The second value is still used in calculations that do not require great accuracy. In the second half of the fifth century, theChinese mathematician Tsu Ch’ung-chih obtained the approximation 3.1415927, which much later (16th century) was alsofound in Europe. This approximation is exact for the first six decimal places.

The search for a more exact approximation of π continued in later periods. For example, in the first half of the 15th century,al-Kashi calculated π to 17 places. In the early 17th century, the Dutch mathematician Ludolph van Ceulen obtained 32places. For practical needs, however, it is sufficient to have values for π and the simplest expressions in which π occurs toonly a few decimal places; reference works usually give four- to seven-place approximations for π, 1/π, π², and log π.

The number π appears not only in the solution of geometric problems. Since the time of F. Vieta (16th century), the limits ofcertain arithmetic sequences generated by simple rules have been known to involve π. An example is Leibniz’ series (1673-74)

This series converges extremely slowly. There exist series for calculating π that converge much more rapidly. An example isthe formula

where the values of the arc tangents are calculated by means of the series

The formula was used in 1962 for a computer calculation of π to 100,000 places. This type of calculation is of interest inconnection with the concept of random and pseudorandom numbers. Statistical processing has shown that this set of100,000 digits exhibits many features of a random sequence.

The possibility of a purely analytic definition of π is of fundamental importance for geometry. Thus, in non-Euclideangeometry π also occurs in some formulas but is no longer the ratio of the circumference to the diameter of a circle, for theratio is not a constant in non-Euclidean geometry. The arithmetic nature of π was finally clarified by analytic means, amongwhich a crucial role was played by the remarkable Euler formula e^2πi = 1, where e is the base of the natural system oflogarithms and .

At the end of the 18th century, J. H. Lambert and A. M. Legendre proved that π is irrational. In 1882 the Germanmathematician F. Lindemann showed it to be transcendental—that is, it cannot satisfy any algebraic equation with integralcoefficients. The Lindemann theorem conclusively established that the problem of squaring the circle cannot be solved bymeans of a compass and straightedge.

Special fact on Pi

The birthday of pi is also celebrated on 14th of march as pi day.

Pi is irrational no. it can never be end,

Proof

 It is still after.